dimostrazione del limite sin(x)/x per x->0

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Dimostrazione del limite

In questo post dimostriamo che:

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \]

1. Geometria del cerchio unitario

Consideriamo il cerchio unitario (raggio = 1) e un angolo x > 0 in radianti. Le relazioni geometriche sono:

  • L’arco del cerchio ha lunghezza x,
  • Il segmento verticale opposto all’angolo è \sin(x),
  • Il segmento della tangente al cerchio ha lunghezza \tan(x).

Da qui otteniamo la disuguaglianza:

    \[ \sin(x) < x < \tan(x), \quad \text{per } 0 < x < \frac{\pi}{2}. \]

Dividendo tutti i termini per \sin(x), otteniamo:

    \[ 1 < \frac{x}{\sin(x)} < \frac{1}{\cos(x)}. \]

Invertendo la disuguaglianza:

    \[ \cos(x) < \frac{\sin(x)}{x} < 1. \]

2. Applicazione del teorema del confronto

Quando x \to 0:

    \[ \cos(x) \to 1 \quad \text{e} \quad 1 \to 1. \]

Per il teorema del confronto, segue che:

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \]

Conclusione

Abbiamo dimostrato che:

    \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1. \]

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